В продольной плоскости на самолет действуют сила тяжести G = mg (рис. 1.9), направленная по вертикали, подъемная сила У, направленная перпендикулярно скорости набегающего потока, сила лобового сопротивления X, направленная по скорости этого потока, и тяга двигателей Р, направленная к потоку под углом, близким к углу атаки а (полагая угол установки двигателей относительно оси Ох і равным нулю).
Продольное движение самолета наиболее удобно рассматривать в скоростной системе координат. В этом случае проекция вектора скорости на ось Оу равна нулю. Угловая скорость вращения касательной к траектории движения центра масс относительно оси Ог
<ог= -В = & - а.
Тогда уравнения движения центра масс самолета в проекциях на оси Ох и Оу имеют следующий вид:
проекции сил на ось Ох (касательную к траектории):
mV = - X-Osm0-f-/°cosa; (1.2)
проекции сил на ось Оу (нормаль к траектории):
mVb = Y - G cos 0 — f~ Z3 sin a. (1.3)
Уравнения, описывающие вращение самолета относительно центра масс, наиболее простыми получаются в связанной системе
координат, поскольку ее оси совпадают с главными осями инерции. Так как при рассмотрении изолированного продольного движения полагаем р=0 (при этом условии скоростная система координат совпадает с полусвязан — ной) и, следовательно, ось Ог скоростной системы координат совпадает с осью Ozi связанной системы, то уравнение моментов относительно оси Oz имеет вид:
где /2 - момент инерции самолета относительно оси Ог;
Мг - аэродинамический момент тангажа, продольный момент.
Для анализа характеристик продольного движения самолета относительно его центра масс необходимо добавить уравнение связи углов атаки, тангажа и наклона траектории:
При рассмотрении динамики продольного траєкторного движения самолета - движения его центра масс относительно земли - необходимы еще два кинематических уравнения:
xg = L*=V COS0; (1.6)
yg - H = V sin б, (1.7)
где Н - высота полета;
L - пройденное расстояние вдоль оси Oxg земной системы координат, которая предполагается совпадающей по направлению с осью Ох скоростной системы.
В соответствии с гипотезой стационарности аэродинамические силы и моменты являются нелинейными функциями следующих параметров:
Х=Х(*% I7, М, Ря);
Г = Г(*9 1/, м, Ря);
M2 = Mz(bв. <*» а, V, М, рн),
: (ая “ скорость звука на высоте полета);
ря - плотность воздуха на высоте полета; бв - угол отклонения руля высоты.
Эти силы и моменты могут быть записаны через аэродинамические коэффициенты:
где Cx - Cx (a, M) -коэффициент лобового сопротивления;
Су -Су (a, М) -коэффициент подъемной силы;
mz-mz (бв, a, a, d, M) -коэффициент продольного момента M%
S - площадь крыла самолета;
Ьа -средняя аэродинамическая хорда САХ.
Тяга двигателей также является нелинейной функцией ряда параметров:
Р = Р(8д) М, рн, Тя),
где бл - перемещение органа, управляющего тягой двигателей; ри -давление на высоте полета;
Тя - абсолютная температура воздуха на высоте полета.
Будем рассматривать в качестве невозмущенного движения установившееся прямолинейное движение
Полагаем, что параметры возмущенного движения могут быть выражены через их установившиеся значения и малые приращения:
а = а0-4-Да;
Є-VU;
Проведя с учетом (1.15) линеаризацию уравнений возмущенного движения (1.2-1.7) и принимая во внимание уравнения невозмущенного движения (1.9-1.14), получим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами :
mbV = - XvbV - Xм ДМ -Х“Да- А^р&Д yg- G cos 0ОД0 — f + COS а0ДМ - P0 sin а0Да — f P? cos а0рйдyg -f P T COS а„Тун^Уе +
cos «0Д8д; (1.16)
mV^b = YVW + КмДМ + К“Да — f Кіу Дyg + О sin 0ОД6 +
РМ sin аоДМ + PQ cos а0Да — f P? sin а0р^Дyg +
P T sin *ъТу„Ьув + P5 sin а0Д5д; (1.17)
Izb = M ® Д8В — f M’M — f МІДа — f AlfbA — f
дХ, дХ < vrp дХ У - ‘ Л 1 — —— |
В этих уравнениях для упрощения письма введены символические обозначения частных производных:
При исследовании динамики захода на посадку и посадки самолета уравнения (1.16-1.18) могут быть упрощены за счет пренебрежения (по их малости) членами, содержащими производные по параметрам р, Т, производными аэродинамических сил и их моментов по числу М. По аналогичным соображениям производную Ям можно заменить производной Pv, а приращение ДМ - приращением XV. Кроме того, в уравнении моментов необходимо учесть, что Mzv = 0 и Мрг =0, поскольку коэффициент момента mZo = 0. Тогда уравнения (1.16-1.18) примут вид:
mAV=-XvAV — Х’1Ая — О cos 0ОД0 + Pv cos а0ДК —
Р„ s і П а0Д а — f — Р5 cos а0Д&л; (1.16а)
mV0A
Я0 cos а0Да-(-Р8 sin а0Д8д; (1.17a)
1$ = Щ Д8В + м Да + М Да + Д 8;
Yv=c!/oSpV0; Ya = cauS ;
|
|
|
|
|
|
|
|
105" height="32">
|
|
|
Л, . « . Юг-^ =M-A. v0 K0
Заметим, что члены, содержащие управляющие координаты 6Д и 6В, находятся в правой части уравнений. Характеристический полином для системы уравнений движения неуправляемого самолета (с зажатыми органами управления) имеет следующий вид:
А (р) = Р4 -f яjP3 + йоР2 + а3р — f д4, (1.24)
где йі = йу + £а-+ — f г — ;
+ — f с. + ^ь+с;)(«vr -60);
Й3 = Г« (rtK ~ + + + ^4)(a6^V ~av b*)>
ai - ca{atbv - avbH).
Согласно критерию Гурвица-Рауса движение, описываемое уравнением четвертого порядка, устойчиво тогда, когда коэффициенты аь а2, а3 и а4 положительны и а3(аіа2-аз)-а4аі2>0.
Эти условия обычно удовлетворяются не только для режимов захода на посадку, но и для всех эксплуатационных режимов полета дозвуковых гражданских самолетов. Корни характеристического полинома (1.24) обычно комплексно-сопряженные, различные по величине, и им соответствуют два различных колебательных движения. Одно из этих движений (короткопериодическое) имеет малый период с сильным затуханием. Другое движение (длиннопериодическое, или фугоидное) является медленно затухающим движением с большим периодом.
Вследствие этого возмущенное продольное движение может рассматриваться как взаимное наложение этих двух движений. Учитывая, что периоды этих движений весьма различны и что короткопериодическое колебание сравнительно быстро затухает (за 2-4 сек), оказывается возможным рассматривать короткопериодическое и длиннопериодическое движения изолированно друг от друга.
Возникновение короткопериодического движения связано с нарушением равновесия моментов сил, действующих в продольной плоскости самолета. Это нарушение может быть, например, результатом воздействия ветрового возмущения, приводящего к изменению угла атаки самолета, аэродинамических сил и моментов. Вследствие нарушения равновесия моментов самолет начинает поворачиваться относительно поперечной оси Oz. Если движение устойчиво, то он вернется к прежнему значению угла атаки. Если же нарушение равновесия моментов произошло вследствие отклонения руля высоты, то самолет в результате короткопериодического движения выйдет на новый угол атаки, при котором равновесие моментов, действующих относительно поперечной оси самолета, восстанавливается.
За время короткопериодического движения скорость самолета не успевает значительно измениться.
Поэтому при исследовании такого движения можно полагать, что оно происходит при скорости невозмущенного движения, т. е. можно принять ДУ-0. Полагая исходный режим близким к горизонтальному полету (0«О), можно исключить из рассмотрения член, содержащий Ьд.
В этом случае система уравнений, описывающих короткопериодическое движение самолета, принимает следующий вид:
Дб - &аДа=0;
Д б + е j Д& — f ск Да — f саДа == с5Дйв; Дб = Д& - Да.
Характеристический полином для этой системы уравнении имеет вид:
Л(/>)к = д(/>2 + аі/> + а. Ф где а=ьЛск+с> Ї
Короткопериодическое движение устойчиво, если коэффициенты «і и 02 положительны, что обычно и имеет место, поскольку в об ласти эксплуатационных режимов величины b*, сх, г» и существенно положительны.
ния стремится к нулю. При этом величина
частоту собственных колебаний самолета в короткопериодическом движении, а величина --- их затухание. Первая величина определяется главным образом коэффициентом ml, характеризующим степень продольной статической устойчивости самолета. В свою очередь коэффициент ml зависит от центровки самолета, т. е. от взаимного расположения точки приложения аэродинамической силы и центра масс самолета.
Вторая величина, обусловливающая затухание, определяется
в большой степени коэффициентами моментов mlz и т% ■ Коэффициент т’"гг зависит от площади горизонтального оперения и его расстояния от центра масс, а коэффициент ml еще и от запаздывания скоса потока у оперения. Практически, вследствие большого затухания, изменение угла атаки имеет характер, близкий к апериодическому.
Нулевой корень р3 указывает на нейтральность самолета относительно углов д и 0. Это является следствием сделанного выпи упрощения (ДУ = 0) и исключения из рассмотрения сил, связанным с изменением угла тангажа, что допустимо только для начального периода возмущенного продольного движения - короткопериоди ческого *. Изменения углов A# и ДО рассматриваются в длиннопе риодическом движении, которое упрощенно можно считать начинающимся после окончания короткопериодического движения. При
1 Подробно по этому вопросу см .
этом Ла=0, а величины углов тангажа и наклона траектории отличны от значений, имевших место в исходном невозмущенном движении. Вследствие этого нарушается равновесие проекций сил на касательную и нормаль к траектории, что приводит к возникновению длиннопериодических колебаний, в процессе которых происходят изменения не только углов О и 0, но и скорости полета. При условии устойчивости движения равновесие проекций сил восстанавливается и колебания затухают.
Таким образом, для упрощенного исследования длиннопериодического движения достаточно рассмотреть уравнения проекций сил на касательную и нормаль к траектории, полагая Да = 0. Тогда система уравнений продольного движения принимает вид:
(1.28)
Характеристический полином для этой системы уравнений имеет вид:
где ai = av-b^ a2=abbv - avbb.
Устойчивость движения обеспечивается при условии «і >0; й2>0. Затухание колебаний существенно зависит от значений производной Pv и коэффициента сХа, а частота собственных колебаний- еще и от коэффициента су„ поскольку эти коэффициенты определяют величины проекций сил на касательную и нормаль к траектории.
Следует отметить, что для случаев горизонтального полета, набора высоты и снижения с малыми углами 0 коэффициент Ьв имеет очень малую величину. При исключении члена, содержащего
из второго уравнения (1.28) получаем at = av; a2 = aebv.
Страница 1
Движение самолета как твердого тела состоит из двух движений: движения центра масс и движения вокруг центра масс. Поскольку в каждом из этих движений самолет обладает тремя степенями свободы, то в целом его движение характеризуется шестью степенями свободы. Для задания движения в любой момент времени необходимо задать шесть координат как функций времени.
Для определения положения самолета будем применять следующие системы прямоугольных координат (рис.2.1):
неподвижную систему Ox0y0z0, начало которой совпадает с центром масс самолета, ось Oy0 направлена по вертикали, а оси Ox0 и Oz0 горизонтальны и имеют фиксированное направление по отношению к Земле;
связанную систему Ox1y1z1 с началом в центре масс самолета, оси которой направлены по главным осям инерции самолета: ось Ox1 – по продольной оси, ось Oy1 – в плоскости симметрии, ось Oz1 перпендикулярна к плоскости симметрии;
скоростную систему Oxyz с началом в центре масс самолета, ось Ox которой направлена по вектору скорости V, ось Oy – в плоскости симметрии, ось Oz перпендикулярна к плоскости симметрии;
Положение связанной системы Ox1y1z1 по отношению к неподвижной системе Ox0y0z0 характеризуется углами Эйлера: φ – угол крена, ψ – угол рыскания и J - угол тангажа.
Положение вектора воздушной скорости V относительно связанной системы Ox1y1z1 характеризуется углом атаки α и углом скольжения b.
Нередко вместо инерциальной системы координат выбирается система, связанная с Землей. Положение центра масс летательного аппарата в этой системе координат можно характеризовать высотой полета H, боковым отклонением от заданной траектории полета Z и пройденным расстоянием L.
Рис. 2.1 Системы координат
Рассмотрим плоское движение летательного аппарата, при котором вектор скорости центра масс совпадает с плоскостью симметрии. Самолет в скоростной системе координат представлен на рис.2.2.
Рис. 2.2 Самолет в скоростной системе координат
Уравнения продольного движения центра масс самолета в проекции на оси OXa и OYa запишем в виде
(2.1)
(2.2)
Где m – масса;
V – воздушная скорость самолета;
P – сила тяги двигателя;
a – угол атаки;
q – угол наклона вектора скорости к горизонту;
Xa – сила лобового сопротивления;
Ya – аэродинамическая подъемная сила;
G – сила веса.
Обозначим через Mz и Jz соответственно суммарный момент аэродинамических сил, действующих относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, и момент инерции относительно той же оси. Уравнение моментов относительно поперечной оси самолета будет:
(2.3)
Если Мшв и Jв – шарнирный момент и момент инерции руля высоты относительно его оси вращения, Мв – управляющий момент, создаваемый системой управления, то уравнение движения руля высоты будет:
(2.4)
В четырех уравнениях (2.1) – (2.4) неизвестными являются пять величин J, q, a, V и dв.
В качестве недостающего пятого уравнения возьмем кинематическое уравнение, связывающее величины J, q и a (см. рис.2.2).
В случае анализа динамики самолета, совершающего полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения движения по сравнению с общшм случаем полета летательного аппарата могут быть упрощены, в частности, можно пренебречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем еще ряд упрощающих допущений.
только квазистатически, для текущего значения скоростного напора.
При анализе устойчивости и управляемости самолета будем использовать следующие прямоугольные правые системы осей координат.
Нормальная земная система координат OXgYgZg. Эта система осей координат имеет неизменную ориентацию относительно Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета. Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация может быть принята произвольно, в зависимости от целей решаемой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто направляют к Северу параллельно касательной к меридиану, а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости и управляемости самолета удобно принять направление ориентации оси 0Xg совпадающим по направлению с проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент времени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной плоскости и образует вместе с осями OXg и 0Yg правую систему осей координат (рис. 1.1). Плоскость XgOYg называют местной вертикальной плоскостью.
Связанная система координат OXYZ. Начало координат расположено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо параллельно какому-либо другому, фиксированному относительно самолета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при горизонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.
Углом атаки а называется угол между продольной осью самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость OXY. Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета на ось 0Y отрицательна.
Углом скольжения р называется угол между воздушной скоростью самолета и плоскостью OXY связанной системы координат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на поперечную ось положительна.
Положение связанной системы осей координат OXYZ относительно нормальной земной системы координат OXeYgZg может быть полностью определено тремя углами: ф, #, у, называемыми углами. Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему
координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому угловому положению связанной системы относительно осей нормальной системы координат.
При исследовании динамики самолетов используются следующие понятия углов Эйлера.
Угол рыскания г]) - угол между некоторым исходным направлением (например, осью 0Xg нормальной системы координат) и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную плоскость. Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси OYg по часовой стрелке.
Угол тангажа # - угол между продольно# осью самолета ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg, Угол положителен, если продольная ось находится выше горизонта.
Угол крена у - угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ у и связанной осью 0Y самолета. Угол положителен, если ось О К самолета совмещается с местной вертикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Будем считать, что нормальная и связанная системы координат в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей произведем относительно оси О на угол рыскания г]; (ф совпадает с осью OYgXрис. 1.2)); второй поворот -относительно оси 0ZX на угол Ф (‘& совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью ОХ). Проектируя векторы ф, Ф, у, являющиеся составляющими
вектора угловой скорости движения самолета относительно нормальной системы координат, на связанные оси, получим уравнения связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения связанных осей:
со* = Y + sin *&;
o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)
со2 = ф cos у - ф cos Ф sin у.
При выводе уравнений движения центра масс самолета необходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества движения
-^- + о>xV)=# + G, (1.2)
где ю - вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;
R - главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-
ческих сил и тяги; G - вектор гравитационных сил.
Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ самолета в проекциях на связанные оси:
т (гЗ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)
т iy’dt “Ь У - = Rz + Gz>
где Vx, Vy, Vz - проекции скорости V; Rx, Rz - проекции
результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gxi Gyy Gz - проекции силы тяжести на связанные оси.
Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с использованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:
Gy = - G cos ft cos у; (1.4)
GZ = G cos d sin y.
При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли, проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения и величиной скорости (V) соотношениями
Vх = V cos a cos р;
Vу = - V sin a cos р;
Связанная |
Выражения для проекций результирующих сил Rx, Rin Rz имеют следующий вид:
Rx = - cxqS — f Р cos ([>;
Rty = cyqS p sin (1.6)
где cx, cy, сг - коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связанной системы координат; Р - гяга двигателей (обычно Р = / (У, #)); Фн - угол заклинення двигателя (фя > 0, когда проекция вектора тяги на ось 0Y самолета-положительна). Далее везде будем принимать = 0. Для определения входящей в выражение для скоростного напора q величины плотности р (Н) необходимо интегрировать уравнение для высоты
Vx sin ft+ Vy cos ft cos у - Vz cos ft sin у. (1.7)
Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной атмосферы либо по приближенной формуле
где для высот полета И с 10 000 м К ж 10~4 . Для получения замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных осях уравнения (13) необходимо дополнить кинематическими
соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации самолета у, ft, г]1 и могут быть получены из уравнений (1.1):
■ф = Кcos У — sin V):
■fr = «у sin у + cos Vi (1-8)
Y = со* - tg ft (©у cos y - sinY),
а угловые скорости cov, со, coz определяются из уравнений движения самолета относительно ЦМ. Уравнения движения самолета относительно центра масс могут быть получены из закона изменения момента количества движения
-^-=MR-ZxK.(1.9)
В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения: ->■ ->
К - момент количества движения самолета; MR - главный момент внешних сил, действующих на самолет.
Проекции вектора момента количества движения К на подвижные оси в общем случае записываются в следующем виде:
К t = I х^Х? ху®у I XZ^ZI
К, Iху^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)
К7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*
Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распространенного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость симметрии. В этом случае 1хг = Iyz - 0. Из уравнения (1.9), используя соотношения (1.10), получим систему уравнений движения самолета относительно ЦМ:
h -jf — — hy («4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-
Если за сси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0. В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем производить, используя в качестве осей OXYZ главные оси инерции самолета.
Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя. Аэродинамические моменты записываются в виде
где тХ1 ту, mz - безразмерные коэффициенты аэродинамических моментов.
Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем случае выражаются в виде функциональных зависимостей от кинематических параметров движения и параметров подобия, зависящих от режима полета:
у, г mXt = F(а, р, а, Р, coXJ coyj со2, бэ, ф, бн, М, Re). (1.12)
Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому при анализе устойчивости или управляемых движений эти параметры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.
Нарис. 1.3 приведены правила знаков для основных параметров движения самолета, а также для величин отклонений органов и рычагов управления.
Для малых углов атаки и скольжения обычно используется представление аэродинамических коэффициентов в виде разложений в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только первых членов этого разложения. Такая математическая модель аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки достаточно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по аэродинамике самолетов различного назначения примем следующую форму представления коэффициентов аэродинамических сил и моментов в функции параметров движения и углов отклонения органов управления:
сх ^ схо 4~ сх (°0»
У ^ СУ0 4" с^уа 4" С!/Ф;
сг = cfp + СгН6„;
тх - itixi|5 — f — ■Ь тхха>х-(- тх -f — /л* (І -|- — J — Л2ЛП6,!
о (0.- (0^- р б б„
ту = myfi + ту хо)х + ту Уыу + р + га/бэ + ту бн;
тг = тг (а) + тг zwz /я? ф.
При решении конкретных задач динамики полета общая форма представления аэродинамических сил и моментов может быть упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические коэффициенты бокового движения являются константами, а продольный момент может быть представлен в виде
mz (а) = mzo + т£а,
где mz0 - коэффициент продольного момента при а = 0.
Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональные углам аир, обычно находятся из статических испытаний моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-
НИЯ производных, twx (у) необходимо проведение
динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обработке одновременно определяются величины:
СО — СО- ,
тг* = т2г —mz;
0) , R. Юу I в.
mx* = тх + тх sin а; ту* = Шух ту sin а.
СО.. (О.. ft СО-. СО.. ft
ту% = т,/ -|- tiiy cos а; тх% = тху + тх cos а.
В работе показано, что для анализа динамики самолета,
особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-
тов в виде соотношений (1.13), в которых производные mS и т$
приняты равными нулю, а под выражениями т®х, и т. д.
понимаются величины m“j, т™у [см. (1.14)], определяемые в эксперименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выражения для скоростей Vх, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые преобразования, получим
= % COS а + coA. sina — f -^r }
Основные достопримечательности Кестхея: фото и описание Кестхей: развлечения и активный отдых
Пхукет с детьми: где остановиться и чем заняться
Район «Имеретинская низменность» в г
ТОП российских озёр с необычными названиями
Лучшие пляжи острова Шри Ланка: фото, описание Такси из аэропорта до города